Chủ Nhật, ngày 10 tháng 2 năm 2013

Bất đẳng thức với cosin

Trả lời câu hỏi của Không Ai Clq.

Đề bài. Cho $A,\,B,\,C$ là ba góc của một tam giác không tù. Chứng minh rằng $$(\cos A+\cos B)^2+(\cos B+\cos C)^2+(\cos C+\cos A)^2 \le 3.$$
Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C \cos A \le \frac{3}{2}.$$ Do $\cos^2A+\cos ^2B+\cos^2C=1-2\cos A \cos B \cos C$ nên ta cũng có thể viết lại bất đẳng thức trên thành $$\cos A\cos B +\cos B \cos C +\cos C \cos A \le \frac{1}{2} +2 \cos A \cos B \cos C.$$ Đến đây, ta có chú ý rằng: trong ba góc $A,\,B,\,C$ có hai góc hoặc cùng không lớn hơn $\frac{\pi}{3}$ hoặc cùng không nhỏ hơn $\frac{\pi}{3}.$ Và do tính đối xứng nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử hai góc đó là $A$ và $B.$ Thế thì, do $\cos C \ge 0$ nên $\cos C(1-2\cos A)(1-2\cos B) \ge 0.$ Suy ra $$2\cos A \cos B \cos C \ge \cos B\cos C +\cos C \cos A-\frac{1}{2} \cos C.$$ Sử dụng đánh giá này, ta đưa được bài toán về chứng minh $$\cos A\cos B+\frac{1}{2}\cos C \le \frac{1}{2},$$ hay $$2\cos A \cos B +\cos C \le 1.\text{ }(1)$$ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $\cos^2A+\cos^2B \ge 2\cos A \cos B.$ Do đó, $$\begin{aligned} 1&=\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C +2\cos A \cos B\cos C\\ & \ge 2\cos A \cos B+\cos^2C+2\cos A \cos B \cos C.\end{aligned}$$ Bất đẳng thức trên có thể được viết lại thành $$(1+\cos C)(1-\cos C -2\cos A \cos B) \ge 0.$$ Vì $1+\cos C>0$ nên từ đây ta suy ra $2\cos A \cos B+\cos C \le 1.$ Nói cách khác, (1) là bất đẳng thức đúng. Bài toán được chứng minh hoàn toàn.

1 nhận xét:

  1. Rewrite the inequality into
    $ (\sum \cos A)^2\leq \sum\sin^2A$
    Just use the following two identities:
    $ \sum \frac{\cos A}{\sin B\sin C} =2$
    $ \sum 2\cos A\sin B\sin C= \sum (\sin^2B + \sin^2C - \sin^2A)$
    And the rest follows from the Cauchy-Schwarz inequality. :)

    Trả lờiXóa