Thứ Hai, ngày 21 tháng 1 năm 2013

Tìm nguyên hàm của $\frac{x}{\sin^2x}$

Trả lời câu hỏi của So Ledad.

Đề bài. Tìm nguyên hàm: $$I=\int \frac{x\mathrm{d}x}{\sin^2x}.$$
Lời giải. Đặt $u=x$ và $\mathrm{d}v=\frac{1}{\sin^2x}\mathrm{d}x$ thì ta có $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ và $v =-\cot x.$ Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có $$\begin{aligned} I& =uv-\int v \mathrm{d} u=-x\cot x +\int \cot x \mathrm{d}x= -x\cot x+\int \frac{\cos x}{\sin x}\mathrm{d} x\\ &=-x\cot x+\int \frac{\mathrm{d} (\sin x)}{\sin x}=-x\cot x+\ln  |\sin x|+C.\end{aligned}$$ Vậy $I=-x\cot x+\ln |\sin x|+C.$

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét